lunes, 30 de abril de 2007

INECUACIONES

Sabemos que las expresiones: 3x + 1 = x - 3 y x2 - 3x = 0 representan ecuaciones. Si en lugar de estar relacionados los dos miembros por una igualdad (=), lo están por alguna desigualdad:
> (mayor); < (menor); # (distinto); ³ (mayor o igual); £ (menor o igual)
estaremos ante "inecuaciones". Por ejemplo: 3x + 1 > x - 3 o x2 - 3x £ 0
Como en las ecuaciones, se clasifican por el grado y por el número de incógnitas.
De los dos ejemplos, la primera será de primer grado con una incógnita y la segunda de segundo grado con una incógnita.
Como en las ecuaciones, resolver una inecuación es encontrar el valor o valores de x que cumplen la relación.
La inecuaciones en las que la relación entre los dos miembros es "distinto #" podemos considerarlas ya resueltas ya que basta resolver la ecuación y la solución de la inecuación serán todos los valores reales excepto los correspondientes a dicha solución.La resolución de las inecuaciones es muy parecida a la resolución de las ecuaciones.
5x + 6 < 3x - 8
5x - 3x < -8 - 6
2x < -14
x < -7
Todos los valores de x menores que -7 (es decir desde -7 hasta -¥ ) satisfacen la inecuación.
Es muy importante tener en cuenta que si multiplicamos por un numero negativo una inecuacion tenemos que cambiar el signo de la desigualdad.

domingo, 22 de abril de 2007

Regla de Ruffini

Regla de Ruffini

Regla de Ruffini.- División de polinomios con el divisor del tipo "x-a"

El caso más importante de la división de polinomios es el que tiene por divisor un binomio del tipo x - a, siendo "a" un número entero; por ejemplo (x - 1), (x + 2), etc.

Además de realizarse la división por el método general expuesto en el apartado anterior, se puede realizar usando la regla de Ruffini.

La regla de Ruffini se utiliza fundamentalmente cuando el polinomio dividendo tiene como única letra (variable) la x y el ya citado divisor (x - a). Utiliza los coeficientes del dividendo y el valor de "a", obteniéndose los coeficientes del polinomio cociente y el valor del resto (obsérvese que el resto siempre será un número), disponiéndose en la forma que se muestra en el escena siguiente que presenta la división:

Ejemplo 15 .- (x3 + x2 - x - 1) : (x - 2)

1 1 -1 -1

2 2 6 10

__________________________

1 3 5 9

"Se deben colocar todos los coeficientes del dividendo ordenados de mayor a menor grado y si falta el de algún grado intermedio colocar un 0.

Quizás el lector conozca ya la forma de obtener el cociente y el resto. El proceso que se ha seguido es el siguiente:

- Se "baja" el primer coeficiente del dividendo.
- Se multiplica "a" por el coeficiente bajado y se coloca el resultado debajo del segundo coeficiente (el signo de a será positivo si el divisor es del tipo (x-a) y negativo si el divisor es del tipo (x+a).
- Se suma el segundo coeficiente con el resultado anterior.
- Se continúa el proceso hasta terminar con los coeficientes.

Los números de la fila inferior obtenida son los coeficientes del cociente (de un grado menor al dividendo) excepto el último número que es el valor del resto.

Así en la escena del ejemplo anterior:

- El cociente es x2 + 3x +5 y el resto es 9

"Si cambias los valores de "a" en la escenan podrás observar otras divisiones (por ejemplo que para a = 1 la división es exacta)"

Ejercicio 10.- Calcular el cociente y el resto de las siguientes divisiones:

a) ( 2x3 + 6x2 - 1 ) : ( x + 3 )

b) ( x4 + 2x3 - x2 + 3x - 5 ) : ( x - 1 )

Realiza las divisiones en el cuaderno de trabajo.

Se puede

Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades (los exponentes del divisor son diferentes de 1)
P r o c e d i m i e n t o
Criterios de divisibilidad

Criterio 1 : La diferencia de dos cantidades con potencias iguales, pares o impares, es divisible por la diferencia de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por :
MathType 5.0 Equation
Criterio 2 : La diferencia de dos cantidades con igual potencia par, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por:
MathType 5.0 Equation

Criterio 3 : La suma de dos cantidades con igual potencia impar, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por :
MathType 5.0 Equation

Criterio 4 :
A) La suma de dos cantidades con igual potencia par, no es divisible ni por la suma ni por la diferencia de las cantidades. Esto es, cocientes de la forma :
MathType 5.0 Equation
B) La diferencia de dos cantidades con igual potencia impar, no es divisible por la suma de las cantidades. Es decir, cocientes de la forma :
MathType 5.0 Equation
Nota : Se dice que dos expresiones determinadas son divisibles, cuando su división es exacta, esto es, cuando al dividir a una (el dividendo) por la otra (el divisor), el residuo es cero.

Cuando los exponentes del divisor son diferentes de 1, esto es, si son 2, 3, 4, 5, etc., sucede que el exponente de a disminuye, sucesivamente, en cada término 2, 3, 4, 5, etc.; la b aparece en el segundo término del cociente elevada a un exponente igual al que tiene en el divisor, y aumentará este exponente en 2, 3, 4, 5, etc. en los siguientes términos.
Las soluciones de estos cocientes tendrán las tres formas siguientes (dependiendo del criterio de divisibilidad que se aplique) :

MathType 5.0 Equation
MathType 5.0 Equation

MathType 5.0 Equation

Nota : El número de términos en el cociente es igual al resultado de dividir m entre n.

cociente de la suma o diferencia de potencias iguales

Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades (los exponentes del divisor son diferentes de 1)
P r o c e d i m i e n t o
Criterios de divisibilidad
Criterio 1 : La diferencia de dos cantidades con potencias iguales, pares o impares, es divisible por la diferencia de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por :

Criterio 2 : La diferencia de dos cantidades con igual potencia par, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por:

Criterio 3 : La suma de dos cantidades con igual potencia impar, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por :
Criterio 4 :
A) La suma de dos cantidades con igual potencia par, no es divisible ni por la suma ni por la diferencia de las cantidades. Esto es, cocientes de la forma :

B) La diferencia de dos cantidades con igual potencia impar, no es divisible por la suma de las cantidades. Es decir, cocientes de la forma :

Nota : Se dice que dos expresiones determinadas son divisibles, cuando su división es exacta, esto es, cuando al dividir a una (el dividendo) por la otra (el divisor), el residuo es cero.
Cuando los exponentes del divisor son diferentes de 1, esto es, si son 2, 3, 4, 5, etc., sucede que el exponente de a disminuye, sucesivamente, en cada término 2, 3, 4, 5, etc.; la b aparece en el segundo término del cociente elevada a un exponente igual al que tiene en el divisor, y aumentará este exponente en 2, 3, 4, 5, etc. en los siguientes términos.
Las soluciones de estos cocientes tendrán las tres formas siguientes (dependiendo del criterio de divisibilidad que se aplique) :

Nota : El número de términos en el cociente es igual al resultado de dividir m entre n.

jueves, 19 de abril de 2007

factorizar

Para factorizar polinomios hay varios métodos:

Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice:


Pues bien, si nos piden factorizar la expresión , basta aplicar la propiedad distributiva y decir que


Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes. Por ejemplo, si nos piden factorizar la expresión , será

donde 6 es el máximo común divisor de 36, 12 y 18
Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta efectuar la multiplicación, aplicando la propiedad distributiva de la parte derecha de la igualdad, y nos tiene que dar la parte izquierda.

Otro ejemplo: Factorizar

¡Atención a cuando sacamos un sumando completo!, dentro del paréntesis hay que poner un uno. Tener en cuenta que si hubiéramos puesto y quiero comprobar si está bien, multiplico y me da pero no como me tendría que haber dado.
Sin embargo si efectúo

Otros ejemplos:

martes, 17 de abril de 2007

Trabajando con Productos Notables

Resuelva las siguientes propuestas (w+5)(w-6)